פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז"

Ιώ Καραβίας
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז הוראות בהגשת הפתרון יש לרשום שם מלא, מספר ת ז ומספר קבוצת תרגול. תאריך הגשת התרגיל הוא בתרגול בשבוע המתחיל בתאריך ג טבת ה תשע ז, שאלות חימום שאלות החימום הן שאלות שאינן להגשה, והן בדרך כלל קלות יותר. אבל כדאי מאוד לוודא שיודעים איך לפתור אותן, אפילו בעל פה. שאלה 1. תהי H G תת קבוצה של חבורה G. הוכיחו ש- G H אם ורק אם H. = H פתרון. לפי הגדרה, בכל מקרה מתקיים H H. אם H תת חבורה, אז היא תת החבורה הקטנה ביותר שמכילה את.H כלומר, H H ולכן. H = H לפי הגדרה, H היא תת חבורה של G. לכן אם H, = H אז H היא תת חבורה. שאלה.2 יהיו f : G H ו- K g : H הומומורפיזמים של חבורות. הוכיחו שההרכבה g f : G K היא הומומורפיזם. פתרון. נתון שלכל g 1, g 2 G מתקיים ) 2,f(g 1 g 2 ) = f(g 1 )f(g ושלכל h 1, h 2 H מתקיים ) 2.g(h 1 h 2 ) = f(h 1 )f(h בפרט זה נכון עבור ) i.h i = f(g לכן לכל g 1, g 2 G מתקיים (g f)(g 1 g 2 ) = g(f(g 1 g 1 )) = g(f(g 1 )f(g 1 )) = g(f(g 1 ))g(f(g 1 )) = (g f)(g 1 )(g f)(g 2 ) ולכן g f הומומורפיזם. שאלה.3 תהינה G, H שתי חבורות, ונסמן } H.K = G {e הוכיחו כי,K G H.(G H) /K = H וגם K = G פתרון. יש להוכיח שהפונקציה φ : G K המוגדרת לפי ) H φ(g) = (g, e היא איזומורפיזם, ולכן.K = G לשאר הדרישות, יש להוכיח שההטלה π : G H H המוגדרת לפי K. היא אפימורפיזם, ושהגרעין שלו הוא בדיוק π(g, (h = h שאלות להגשה שאלה 4. תהי G חבורה, ותהי H G תת חבורה. נגדיר את המנרמל (או הנורמליזטור) של H ביחס ב- G להיות N G (H) = {g G gh = Hg} 1

2 א. הוכיחו כי.N G (H) G ב. הוכיחו כי (H).H N G ג. הסבירו מדוע (H) N G היא תת החבורה הגדולה ביותר של G שבה H נורמלית. הסיקו כי H G אם ורק אם.N G (H) = G פתרון. א. המנרמל (H) N G לא ריק כי (H),e N G שהרי eh = He לכל תת חבורה של G. נשתמש בקריטריון המקוצר לתת חבורה. יהיו (H),x. y N G לכן xy 1 H = xhy 1 = Hxy 1 כי xh = Hx ומפני ש- Hy,yH = אז בכפל משמאל ומימין ב- 1 y נקבל = 1 Hy.N G (H) G ולכן,xy 1 N G (H) לכן.y 1 H לכן (H),H N G ב. אנחנו ידועים שלכל h H מתקיים.hH = H = Hh לכן לפי הגדרה לכל (H) x N G מתקיים.xH = Hx ולכן (H).H N G.H N G (H) ג. תהי תת חבורה נורמלית K G המכילה את H. לפי הגדרה לכל x K מתקיים.K N G (H) כלומר.x N G (H) ולכן,xH = Hx אם (H) G, = N G אז H נורמלית ב- G לפי הסעיף הקודם. בכיוון השני, אם H נורמלית ב- G אם לכל x G מתקיים,xH = Hx כלומר אם (H).G = N G שאלה.5 נתבונן בחבורה.G = Q /Z א. הוכיחו שהסדר של כל איבר ב- G הוא סופי, אבל שישנם איברים בחבורה מסדר גדול כרצוננו. ( 3 2 = H (שנוצרת על ידי המחלקות של 2 3 ו- 11 ב. הראו כי תת החבורה Z + 11 היא ציקלית. מצאו את האינדקס [H G]. : פתרון. א. איבר היחידה בחבורה G הוא המחלקה + Z = Z 0. לכן יש למצוא לכל x G מספר טבעי n N כך שנקבל.n x + Z = Z שימו לב כי החבורה חיבורית ולכן למציאת הסדר העלאה בחזקה היא כפל ב- n. x = a b עבור.a Z,b N מכאן קל כל איבר בחבורה אפשר לרשום בצורה + Z b. ( a לכן x הוא לכל היותר מסדר (סופי) b. נניח לראות כי b + Z) = a + Z = Z a b הוא שבר מצומצם, ולכן הסדר של x במקרה זה הוא בדיוק b. ברור שסדרת כי } { מתאימה לסדרה של איברים ב- G שסדרם עולה ממש. 1 השברים n n N מינוח: החבורה G היא דוגמה לחבורה מפותלת מאקספוננט אינסופי. 2. נראה שאפשר ב. יש להוכיח שקיים q Q כך שמתקיים Z + Z = q + 11 = 1 q. בשביל להראות הכלה דו כיוונית, מספיק להראות הכלה של 33 לבחור את Z = 33, 1 ולכן Z + Z, היוצרים. נשים לב כי Z = 1, 3 ולכן Z = , 2 3 = מצד שני סדר תת החבורה H הוא 33 ואילו G היא אינסופית, ולכן האינדקס שלה היא אינסופי לפי משפט לגראנז. בנוגע לאינדקס, אפשר להראות גם שלכל שני מספרים ראשוניים p 1 p 2 שונים שאינם מחלקים את 33 יתקיים כי p 1 + H p 2 + H ולכן ישנן אינסוף מחלקות שמאליות שונות. 2

3 שאלה 6. עבור כל אחת מן ההעתקות הבאות קבעו והוכיחו האם היא הומומורפיזם, מונומורפיזם, אפימורפיזם או איזומורפיזם. א. C f : R המוגדרת לפי.f(x) = x 2 ב. f : S 3 Z 2 Z 3 המוגדרת לפי σ(2)).f(σ) = (σ(1), ג. f : Z Z n המוגדרת לפי [k] f(k) = (כלומר שולחת כל מספר k למחלקת השקילות שלו מודולו n). ד. f : Z Z n Z n המוגדרת לפי [k]).f(k) = ([k], ה. f x : G G המוגדרת לפי,f x (g) = x 2 gx 2 כאשר G חבורה ו- G x איבר. פתרון. א. הפונקציה היא הומומורפיזם, אבל לא מונומורפיזם כי למשל = (1 )f (1)f = 1. היא גם לא אפימורפיזם, כי למשל 3i. / im f ב. הפונקציה הזו היא לא הומומורפיזם. למשל כי היחידה לא נשלחת ליחידה, או ש-.f(id id) f(id)f(id) ג. הפונקציה היא אפימורפיזם, כמו שראינו בכיתה. ההוכחה מסתמכת על כך שחיבור מודולו n מוגדר היטב. היא לא מונומורפיזם, כי הסדר של המקור גדול ממש מסדר התמונה, או למשל כי [0] = f(n).f(0) = ד. הפונקציה היא הומומורפיזם, בדומה לסעיף הקודם. הפעם היא לא אפימורפיזם, עבור 2,n מפני שסדר התמונה הוא,n ולא.n 2 למשל Z n Z n 1) (0, לא בתמונה. עבור = 1 n ברור מה קורה. ה. הפונקציה הזו היא איזומורפיזם. סוג כזה של איזומורפיזם נקרא אוטומורפיזם פנימי. נראה שאכן מדובר בהומומורפיזם: f x (gh) = x 2 ghx 2 = x 2 gx 2 x 2 hx 2 = f x (g)f x (h) כדי לראות ש- f x הוא חח ע נשים לב שאם,x 2 gx 2 = e אז 2 ex g = x 2 ולכן,x 2 hx נבחר בתור המקור שלו את 2.h G הוא על, יהי f x כדי להראות ש-.g = e ואכן.f x (x 2 hx 2 ) = h שאלה 7. יהי f : G H הומומורפיזם. הוכיחו שאם G נוצרת סופית, אז גם im f היא חבורה נוצרת סופית. (ודאו שקל לכם להראות שההפך לא נכון.) פתרון. ההוכחה דומה לתרגיל שבו הראנו שהתמונה של חבורה ציקלית היא גם ציקלית. נניח לפי הנתון כי n,g = a 1,..., a ונראה ) n.im f = f(a 1 ),..., f(a בכיתה הוכחנו את המקרה = 1.n,g = a j 1 עבור i1... a j k ik יהי.h im f לכן קיים g G כך ש- h.f(g) = לפי ההנחה כלשהם, לאו דווקא שונים. נשתמש בכך ש- f j 1,..., j k ו- Z i 1,..., i k {1,..., n} הומומורפיזם, ונקבל f(g) = f(a j 1 i1... a j k ik ) = f(a i1 ) j 1... f(a ik ) j k f(a 1 ),..., f(a n ) כלומר ) n.im f f(a 1 ),..., f(a ההכלה השניה קלה להוכחה כששמים לב לכך ש-.f(a 1 ),..., f(a n ) im f 3

4 שאלה 8. הפריכו או הביאו דוגמה לטענות הבאות: א. קיים אפימורפיזם f : Z Z Q (רמז: העזרו בשאלה הקודמת). ב. קיים אפימורפיזם.f : Z 50 Z 10 Z 5 ג. קיים מונומורפיזם.f : Z 63 Z 9 Z 7 ד. קיים מונומורפיזם.f : D 4 Z 8 U 8 U 8 ה. קיים איזומורפיזם.f : S 4 D 12 ו. קיים מונומורפיזם.f : S 4 S 5 D 12 הוכחה. א. לא קיים אפימורפיזם, כי Z Z נוצרת סופית, ולכן לפי השאלה הקודמת התמונה חייבת להיות גם נוצרת סופית. אבל ראינו ש- Q אינה נוצרת סופית. ב. לא קיים אפימורפיזם. מדובר בחבורות שוות עוצמה, ולכן אפימורפיזם יהיה גם איזומורפיזם. אבל בחבורה Z 50 קיים איבר מסדר 50 (כמו Z 50 1), ואילו בחבורה Z 10 Z 5 הסדר של כל האיברים הוא לכל היותר 10. לכן החבורות לא איזומורפיות..(n, m) אם ורק אם = 1 Z nm בדרך אחרת, אפשר להעזר בטענה ש- = Zn Z m ג. קיים מונומורפיזם. שוב, מדובר בחבורות שוות עוצמה כי 7 9 = 63, ולכן מונומורפיזם יהיה גם איזומורפיזם. ראינו בכיתה איך יוצרים איזומורפיזם כזה. כאן אפשרות אחת היא 7).f(x) = (x mod 9, x mod ד. לא קיים מונומורפיזם. ראינו בכיתה שאי אפשר לשכן חבורה לא אבלית בחבורה אבלית. ה. לא קיים איזומורפיזם. נכון ששתי החבורות הן לא אבליות מסדר 24, אבל הן עדין לא איזומורפיות. בחבורה D 12 יש איבר מסדר 12, ואילו ב- S 4 הסדר של האיברים הוא לכל היותר 4. ו. קיים מונומורפיזם. אנו יכולים לראות את S n כתת חבורה של 1+n S לפי השיכון הסטנדרטי, השולח תמורה σ של n איברים לתמורה σˆ של + 1 n איברים לפי = ˆσ(i) σ(i) לכל i n 1 ומקבע את האיבר האחרון + 1 n.ˆσ(n + 1) = כלומר יש מונומורפיזם.f 1 : S 4 S 5 כמובן שיש מונומורפיזם f 2 : S 5 S 5 D 12 המוגדר לפי id).f 2 (σ) = (σ, ההרכבה f 2 f 1 היא דוגמה למונומורפיזם המבוקש. שאלות רשות את שאלות הרשות אין חובה לפתור, אבל אם פתרתם אותן, בבקשה צרפו את הפתרון שלהן. שאלה.9 תהי G חבורה ויהיו x, y G איברים. נתון כי = 14, G x e ו- x.y / הוכיחו כי. x, y = G נסו גם להוכיח.G = D 7 פתרון. נסמן y H. =,x לפי משפט לגראנז מתקיים כי 14 H. נפסול את כל הסדרים שקטנים מ- 14. ברור כי = 1 H מפני ש- H x וגם.x e בנוסף y H והוא אינו חזקה של,x בפרט.y e = x 0 כלומר = 2. H נניח בשלילה כי = 7. H אז נקבל כי = 7,o(x) לכן H ציקלית, ולכן y חזקה של x, שזו סתירה לנתון. כלומר = 14 H ואפשרות היחידה היא H. = G 4

5 שאלה 10. הוכיחו שחבורה G היא היא איחוד של שלוש תת חבורות אמיתיות שלה אם ורק אם Z 2 Z 2 היא תמונה אפימורפית של G. רמז: העזרו בשאלת רשות מתרגיל קודם. תזכורת: חבורה H נקראת תמונה אפימורפית של G אם קיים אפימורפיזם f. : G H בהצלחה! 5

Σχετικά έγγραφα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה